「24 点」是一副牌就能玩的速算游戏：每次翻开四张牌，用加、减、乘、除和括号，把四个数字各用一次，算出 24。它看起来靠灵光一现，其实有稳定的路数。下面先讲规则，再用四个由易到难的例子拆解，然后给出三个最常用的套路，最后说明计算机怎样穷举，以及本游戏为什么不会发出无解的牌。
一、规则：四张牌，各用一次
- 牌面：A 算 1，2 到 10 按点数，J 算 11，Q 算 12，K 算 13。本游戏使用完整的 A–K 牌组。
- 每次发四张牌。四张牌的点数可以相同，但同一张牌不能重复使用。
- 四个数字每个必须且只能用一次，顺序可以任意调整。
- 只允许加号、减号、乘号、除号和括号；不允许把两个数字拼成一个数，也不允许开方、阶乘、乘方。
- 中间结果可以是负数或分数，只要求最后一步等于 24。例如 8÷(3−8÷3) 的中间结果就是分数。
- 除数不能为 0，除以 0 的算式无效。
举个例子：牌面 3、3、8、8 里有两个 3，但它们是两张不同的牌，算式中必须各出现一次；不能写成 33，也不能只用一个 3。
二、四个例子，由易到难
例 1：2、3、4、6
先看能不能凑出 1：3−2=1。另一边 6×4 正好是 24，再乘 1 不改变结果。
6×4×(3−2)=24
验证：3−2=1；6×4=24；24×1=24。
例 2：4、4、10、10
两个 10 相乘得到 100，减去一个 4 得 96，再除以另一个 4。
(10×10−4)÷4=24
验证：10×10=100；100−4=96；96÷4=24。
例 3：1、5、5、5
直接想 5×?=24 不行，因为 24÷5=4.8。把 1 变成 1/5，括号里就得到 4.8。
5×(5−1÷5)=24
验证：1÷5=1/5；5−1/5=24/5；5×24/5=24。
例 4：3、3、8、8
这组没有 1、2、4、6，硬乘凑不出来，需要主动造一个分数：8÷3=8/3，3−8/3=1/3，而 8÷1/3=24。
8÷(3−8÷3)=24
验证：8÷3=8/3；3−8/3=1/3；8÷1/3=24。
这个例子说明：分数不是障碍，而是 24 点最有力的工具之一。
三、三个套路
套路一：凑 3×8 或 4×6
24 的整数因数对只有 1×24、2×12、3×8、4×6。牌面里出现 3 就找 8，出现 4 就找 6，出现 2 就找 12。例 1 的骨架就是 6×4，另外两张牌只需要凑出 1。看到四张牌先问：能不能把其中两张留作因数，另外两张做成 1？
套路二：利用 1 和分数
如果凑不出整数因数，就制造 1 或倒数。例 3 用 1÷5 把 1 变成 0.2，让括号里得到 4.8；而 4.8 正好是 24÷5。另一个典型是 1、3、4、6：1−3÷4=1/4，6÷1/4=24，写成完整算式就是 6÷(1−3÷4)=24。看到 6 和 4，不要只想 6×4，也可以想 6÷(1/4)。
套路三：先凑 12 再乘 2
24 也等于 12×2。把四张牌分成两组，一组凑 12，一组凑 2。例：1、3、5、7，7+5=12，3−1=2，于是 (7+5)×(3−1)=24。再如 4、7、8、9，8+4=12，9−7=2，得到 (8+4)×(9−7)=24。分组比从左往右硬算更容易看出结构。
四、穷举：计算机怎样保证有解
程序的做法很朴素：每次从当前数字里挑两个，试加、减、乘、除四种运算（减法和除法要试两个方向），把结果放回去，数字就少一个；重复到只剩一个数，看它是不是 24。四个数只有有限的挑法和运算顺序，全部试完就能确定有没有解。
关键是全程用分数：8÷3 如果记成 0.3333，最后会差一点点；用分子和分母精确计算，才不会把有解误判成无解。
四个数能形成的组合其实很少，一次完整搜索通常不到一毫秒。难的不是算得快，而是判断得准：只要中途用过小数，就可能把「其实有解」算成「差一点」。本游戏发牌时先跑一遍这个穷举，只发有解的组合；提示功能也从同一条搜索路径里取第一步，所以提示之后剩下的牌一定还算得出来。
五、常见问题
可以重复使用某一张牌吗？
不可以。四张牌必须各用一次；即使两个点数相同，也要当作两张牌分别用掉。
中间结果可以是负数或分数吗？
可以。规则只约束最后结果等于 24，中间过程允许出现负数和分数。
能把 3 和 3 写成 33 吗？
不能。只能使用四则运算和括号，不能拼接数字，也不能开方、阶乘或乘方。
发到的牌一定算得出来吗？
是。每次发牌前程序都会验证有解；如果暂时想不到，可以点「提示」看一步，或点「换一题」。
一定要按从左到右的顺序算吗？
不需要。乘除先于加减，括号可以改变顺序；你可以在任意位置加括号，只要最后一步等于 24 就行。
为什么提示只给一步？
一步提示是从一条完整解法里取出的第一个运算，执行后剩下的数字仍然有解。它给你方向，但不会直接把答案说完。
先认骨架，再试分数，最后才逐项穷举。顺序对了，24 点就从碰运气变成一门可以练的手艺。